Barisan Bilangan Berpangkat 3

"LandepNews"

Tentukan hasil dari : 1³ – 2³ + 3³ – 4³ + … + 99³ – 100³

Materi Prasyarat:

Ingat kembali rumus deret n-bilangan pertama:

Dengan: 

a adalah suku pertama dari barisan,

u_n adalah suku ke-n dari barisan.

Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut diperlukan sumber daya sebagai berikut: 

Tulis:

a³ – b³

= (a – b)³ + 3a²b – 3ab²

= (a – b)³ + 3ab (a – b).

Didefinisikan barisan (*) sebagai berikut: (1 . 2) + (3 . 4) + … + (99 . 100)

Jelas barisan (*) dapat juga ditulis dengan notasi sigma sebagai berikut:

Jadi suku ke-n dari barisan (*) dapat dinyatakan dengan: u_n = 4n² - 2n

Jelas :

= 25 . (3 + 4 . 2500 - 100)

= 25 . (3 + 9900)

= 25 . 9903

= 247.575   .... (**)

Penyelesaian:

Jelas  

1³ – 2³ + 3³ – 4³ + … + 99³ – 100³

= (1³ – 2³) + (3³ – 4³) + … + (99³ – 100³)

= ([1 – 2]³ + 3.1.2 [1 – 2]) + ([3 – 4]³ + 3.3.4 [3 – 4]) + … + ([99 – 100]³ + 3.99.100 [99 – 100])

= ([-1]³ + [-3].1.2) + ([-1]³ + [-3].3.4) + … + ([-1]³ + [-3].99.100) 

= [-1].50  - 3.[(1.2) + (3.4) + … + (99.100)]

= -50 - 3. (247.575)     ....... (dari resources **)

= -50 - 742725

= -742.775.

Jadi, 1³ – 2³ + 3³ – 4³ + … + 99³ – 100³ = -742.675.

Thank's for link:

soal OSN SMP 2011 tingkat propinsi

"LandepNews"
Berikut ini soal OSN SMP 2011 tingkat propinsi untuk soal uraian. Maaf belum selesai disusun tinggal tunggu saja kelanjutannya.

Soal 1:
Jika bilangan bulat x dan y dibagi 4, maka bersisa 3. Jika bilangan x – 3y dibagi 4 maka akan bersisa berapa?

Soal 2:
Perhatikan gambar berikut. Suatu lingkaran berjari-jari 2 cm, berpusat di A. Suatu persegi memiliki titik sudut di A dan satu titik sudut di A dan satu titik sudut yang lain di lingkaran. Di dalam persegi tersebut terdapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Di dalam lingkaran terdapat persegi yang keempat titik sudutnya berada di lingkaran tersebut. Di dalam persegi ini terdapat lingkaran yang menyinggung keempat sisi persegi. Luas daerah yang diarsir sama dengan …



Penyelesaian:
Soal 1:
Jelas x = 4n + 3 dan y = 4m + 3 dengan m, n anggota bilangan bulat.
Jelas x – 3y = 4n + 3 + 3(4m + 3) = 4n + 3 + 4.3m + 9 = 4n + 4.3m + 12 = 4(n + 3m +3)
Jadi tidak bersisa.
Soal 1 terselesaikan.


Soal 2:
Kalau yang ini baru agak mikir. Hehehe…

Tulis
L1: luas daerah persegi besar
L2: luas daerah lingkaran didalam persegi besar
L3: luas daerah persegi kecil
L4: luas daerah lingkaran yang terkecil
LD: luas yang diarsir

Jelas LD = (L1 – L2) + (L3 – L4)

Thank's for link:

mencari luas daerah persegi dengan menggunakan panjang diagonalnya dan sifat-sifatnya

"LandepNews"

Biasanya mencari luas daerah persegi dengan menggunakan rumus (s x s) jika diketahui s adalah panjang sisi persegi. Namun ada cara lain yang dapat digunakan untuk mencari luas daerah persegi, yaitu dengan menggunakan panjang diagonalnya dan sifat-sifatnya. Berikut ini…

Perhatikan lingkaran dan persegi tersebut memiliki titik pusat sama. Titik pusat adalah perpotongan dua diagonal, atau jika di lingkaran, pusat lingkaran merupakan perpotongan dua diameter. Perhatikan gambar berikut.

Perhatikan bahwa luas daerah persegi merupakan dua kali luas daerah segitiga ABC. Sedangkan diketahui bahwa luas daerah segitiga ABC adalah (1/2) x AB x OC. O adalah titik pusat lingkaran. Jelas panjang OC adalah (1/2) . AB.

Sehingga luas daerah persegi adalah 2. (1/2) x AB x (1/2) . AB = (1/2) . AB².

Jelas bahwa AB adalah diagonal persegi, sehingga dapat dikatakan bahwa luas daerah persegi adalah setengah kali kuadrat panjang diagonalnya.

Thank's for link: